摩擦力做功公式的证明与应用

当看到公式Wf=μmgL时，很容易想到这是物体在水平面上滑行一段距离L时克服摩擦力所做的功。这个想法没错，不过它还适用于另外两种情况，其一，若斜面与水平面相接，且动摩擦因数都为μ时，则L表示总的水平距离，如图1所示;其二，若与斜面间的动摩擦因数为μ，滑行对应的水平距离为L，如图2所示。当然此公式的适用条件是水平面上所受的压力大小为mg，在斜面上的压力大小为mgcosθ。在水平面上可以有水平力存在，在斜面上可以有平行于斜面的力存在，但不能有其他方向的力。

一、证明摩擦力做功的公式

【例1】如图1所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由下滑，然后在水平面上前进至B点停下。已知斜坡，水平面与滑雪板之间的动摩擦因数为μ，滑雪者(包括滑板)的质量为m。A，B两点的水平距离为L。在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功为多少?

解析：设斜坡与水平面的交点为C，BC长度为L1，AC水平长度为L2，AC与水平面的夹角为θ，则滑雪者在水平面上运动时摩擦力做功

W1=μmgL1

在斜坡上摩擦力做功

W2=μmgcosθ·L2/cosθ=μmgL2

所以在滑雪者经过AB段过程中，摩擦力做功

Wf=W1+W2=μmg(L1+L2)=μmgL

本题实际上就证明了公式

Wf=μmgL

二、摩擦力做功的公式的应用

【例2】如图3所示，滑块从高h=2m，倾角θ为30°斜面顶端，由静止自由滑下至水平面。若滑块与斜面，水平面的动摩擦因数μ均为0.1，那么它能在水平面上滑行多远的距离?(不计滑块通过斜面与水平面交接处的速度损失，保留一位小数)

解析：设滑块滑行的水平距离为x，其中在水平面上的距离为L1，由公式Wf=μmgL知克服摩擦力所做的功为μmgx。对整个过程列出动能定理，即

mgh-μmgx=0

代入数值得

x=20m

则

L1=x-h/tanθ=16.5m

【例3】如图4所示，质量为m的物体沿动摩擦因素为μ的水平面以初速度v0从A点出发到B点时速度变为v，设同一物体以初速度v0从A 点先经斜面A C，后经斜面CB 到B 点时速度变为v，两斜面在水平面上投影长度之和等于AB的长度，且在斜面上滑动时的动摩擦因数也为μ，则有

A、v ＞v B、v ＜v

C、v ＝v  D、不能确定

解析：分析两斜面的整个过程，由于重力不做功，整个过程都只有摩擦力做功，由公式

Wf=μmgL

知两过程摩擦力做功相等，再由动能定理知，其末速度大小必相等。因此本题答案为选项C。此题用常规解法则较繁琐。

三、小结

准确理解Wf=μmgL的适用条件并加以灵活运用可以快速解答与之相关问题，因此在教学中要予以重视，这对培养学生思考习惯及创新能力是很有帮助的。