试析刚体做滚动运动时摩擦力的方向

一、滚动中的滑动摩擦力

当刚体在滚动中有滑动运动时，摩擦力的方向由“阻碍相对滑动”的原则来确定。例如，设有一底面半径为R的均匀圆柱体，质心的平动速度为vc，绕质心滚动的角速度为ω，如图1所示。由刚体的运动学定理，则经过时间dt后，圆柱体最低点将向前滑动(vc-ωR)dt的距离。

①如果vc ωR，则(vc-ωR)dt 0，即圆柱体最低点有与vc方向相同的滑动趋势。由滑动摩擦力f有“阻碍相对滑动”的原则，则f方向与vc相反;

②如果vc ωR，则(vc-ωR)dt 0，即圆柱体最低点有与vc方向相反的滑动趋势，f方向与vc相同，如图2所示;

③如果vc=ωR，则满足纯滚动的条件，滑动摩擦力为零，这时的摩擦力为滚动摩擦力。

如果刚体绕质心滚动的角速度方向与上述相反，则f方向与vc始终相反。因为圆柱体最低点向前滑动的距离为(vc+ωR)dt，始终大于零，即始终有与vc方向相同的滑动趋势。

二、刚体做纯滚动运动时的滚动摩擦力

滚动摩擦力方向的判断稍显复杂，总体原则是必须满足纯滚动这一约束条件。具体来说，可根据受力分析采用设想法进行判断。

为讨论问题的方便，我们这里把除摩擦力以外的所有力的合力用F，除摩擦力以外的力对质心的合力矩用Mz表示，而摩擦力及摩擦力对质心的力矩分别用f和Mf表示。先不考虑摩擦力，由刚体动力学中的质心平动定理及绕质心转动的角动量定理，有

F=mdvc/dt   (1)

Mz=Izdω/dt  (2)

分析上面的方程，只存在四种可能，①F=0且Mz≠0;②F≠0且Mz=0;③F和Mz都不为零;④F和Mz都为零的情况。下面分别对这四种情况进行讨论。

1、当F=0且Mz≠0时，设力矩的方向如图3所示。

由(2)式，角速度有增加的趋势，而由(1)式，质心的平动速度不会发生变化，则纯滚动的条件将被破坏，出现滑动的趋势。因此滚动摩擦力将一方面要使质心的平动速度增加，一方面还要抑制转动角速度增加过快，防止纯滚动的条件被打破。故滚动摩擦力的方向只有与质心的平动速度方向相同，如该图所示。自行车的后轮做纯滚动运动时就属于这种情况，仅链条给后轮一力矩，F=0，Mz≠0，故后轮滚动摩擦力的方向与自行车前进的方向相同。

2、当F≠0且Mz=0时，设力的方向如图4所示。

与上述类似，由(1)式，质心的平动速度有增加的趋势，而由(2)式，角速度不会发生变化，则纯滚动的条件将被破坏。因此滚动摩擦力将一方面要使转动角速度增加，一方面还要抑制质心的平动速度增加过快，防止平衡被打破。故滚动摩擦力的方向只有与质心的平动速度方向相反，如该图所示。自行车前轮做纯滚动运动时就属于这种情况，前轮仅受一推力的作用，F≠0，Mz=0，故前轮滚动摩擦力的方向与自行车前进的方向相反。

3、一般情形，当F和Mz都不为零时。

对于这种情况，进行纯粹的定性分析得不出滚动摩擦力的方向，必须进行定量计算。可假设f的方向与质心的平动速度vc方向相同(相反也行)，根据受力分析，列出动力学方程，并应用只滚不滑的条件，解出f的值。如果f 0，则与假设的方向一致，如果f 0，则与假设的方向相反。

例如：一质量为m，半径为R的均匀薄圆轮，在距圆心r处有一水平方向的拉力T，如图5所示。设圆轮只滚不滑，试求滚动摩擦力的大小和方向。

[解]设滚动摩擦力f的方向如图所示。由质心平动定理及绕质心转动的角动量定理，有

T+f=mα  (3)

Tr-fR=½mR2β  (4)

由纯滚动只滚不滑的条件，有

α=Rβ  (5)

联立方程(3)、(4)及(5)式，消去α，β，解得

f=(2r-R)T/(3R)  (6)

对上式结果进行讨论。如果滚动摩擦力f的方向与假设一致，即f 0，显然须满足R≥r R/2的条件，如果r

如果该刚体不是薄圆轮，而是其他形状的刚体，则只需将(4)式中薄圆轮的转动惯量½mR2替换为相应刚体的转动惯量，将解的结果进行同样的讨论。

可见，当F和Mz都不为零时，滚动摩擦力的方向与刚体的形状和力的作用位置都有关系。必须进行定量的计算方能得到正确的结论。

4、对于第四种情况，即F和Mz都为零时。

通过对方程(1)、(2)分析可知，纯滚动仅仅在某一时刻才存在，而其他时刻刚体都在做滚动中有滑动的运动，因此讨论其滚动摩擦力也就失去了意义，只需考虑其滑动摩擦力。